Procesos estocásticos

MECAS5004

El curso consiste de tres horas semanales de clase (en el 2009, serán los martes y jueves 8:00-9:30 por Dra. Schaeffer) durante 16 semanas. Se otorgan seis créditos por su aprobación.

Pre-requisitos

Haber cursado MECAS5003 (Modelos probabilistas aplicados); saber programar y manejar ecuaciones diferenciales.

Objetivo

Introducir al estudiante con los fundamentos y modelación de sistemas gobernados por procesos de variables aleatorias. Se enfatizan modelos provenientes de la ingeniería.

Calificación

La calificación está basada puramente en tareas personales. Cada tarea vale 1-6 puntos y los puntos de todas las tareas suman exactamente a cien. Las tareas los participantes no serán necesariamente idénticas, sino pueden variar por ejemplo por sus valores numéricos o por la pregunta exacta que se hace.

En cada clase (salvo que las últimas dos), se publica una tarea (o sea 30 tareas en total), y esa tarea tiene 7 días de tiempo de entrega, o sea, se entrega por último en la clase de la semana que sigue. El tiempo de entrega no cambia por asuetos si el asueto no cae exactamente al día de entrega, en cual caso la entrega seráa el día hábil siguiente inmediato. No se acepta entrega después de la fecha indicada sin comprobación suficiente de enfermedad u otra fuerza major.

La idea es que cada persona haga cada tarea y que lo haga sola. Es fuertemente recomendable estudiar juntos, leer libros y buscar información en la Web. Si resulta, sin embargo, que una persona presenta una solución que fue desarrollada por otra persona o copiada de un libro o de una página web, reprobarán el curso todos los involucrados.

Temario

  1. Repaso de las herramientas básicas (4 sesiones)
    • Definiciones matemáticas
    • Probabilidad discreta vs. continua
    • Función de densidad
    • Esperanza y varianza
    • Distribuciones
      • Geométrica
      • Exponencial
      • Poisson
      • Erlang
    • Generación de números pseudoaleatorios
    • Ley de números grandes
    • Distribución normal
    • Teorema central del límite
    • Ecuaciones diferenciales lineales
  2. Fundamentos de procesos (2 sesiones)
    • Definiciones fundamentales y propiedades de interés de procesos estocásticos
    • Proceso sin memoria
    • Proceso i.i.d.
    • Proceso de Bernoulli
    • Proceso Binomial
    • Proceso Poisson
  3. Procesos de Poisson (6 sesiones)
    • Aproximación de Poisson
    • Proceso de nacimiento y muerte
    • Simulaciones de la dinámica de poblaciones
    • Tres definiciones equivalentes
    • Propiedades del proceso de Poisson
      • Condición con el número de llegadas
      • Superposición: combinaciones de procesos de Poisson
      • Selección aleatoria: un proceso más escaso
      • División aleatoria: separaciones de procesos de Poisson
      • Propiedad PASTA
      • La paradoja del autostopista
    • Procesos Poisson no homogéneos
  4. Cadenas de Markov (12 sesiones)
    • Cadenas de Markov discretas
      • Absorción
        • Estados absorbentes vs. transientes
        • Simulaciones de absorción
        • Forma canónica
        • Probabilidad de absorción
        • Matriz fundamental
        • Tiempos de absorción
        • Probabilidades de absorción
      • Ergodicidad
        • Estados comunicados
        • Cadenas reducibles
        • Simulaciones del comportamiento en el largo plazo
        • Cadenas regulares
        • Tiempo esperado de primer llegada
        • Tiempo de primer regreso
        • Equilibrio
        • Teorema fundamental de límite
      • Distribuciones estacionarias
        • Cadenas periodicas
        • Teoría de grafos y cadenas de Markov
        • PageRank - la importancia de páginas web
        • Distribución estacionaria única
        • Condiciones de balance
        • Condiciones de balance detallada
        • Reversibilidad
        • Simulaciones de reversibilidad
    • Cadenas de Markov en tiempo continuo
      • Ecuaciones Chapman-Kolmogorov
      • Distribuciones estacionarias
      • Tiempos de permanencia y probabilidades de transición
      • Propiedades
      • Cadenas continuas y procesos de Poisson
      • Procesos de nacimiento y muerte en tiempo continuo
  5. Teoría de líneas de espera (6 sesiones)
    • Procesos de llegada
    • Tiempos de servicio
    • Medidas de rendimiento
      • Número esperado de clientes en el sistema
      • Largo esperado de la cola
      • Tiempo esperado dentro del sistema
      • Tiempo esperado de espera en la cola
      • Probabilidad de espera
      • Tasa de utilización del servidor
    • Colas de capacidad finita
    • Redes de colas
    • Ejemplos y simulaciones
  6. Teoría de fenómenos de renovación (1 sesión)
    • Proceso de renovación
    • Proceso de recompensa de renovación
    • Vida y vida excesa
    • Vida promedia
  7. Procesos semi-Markovianos (1 sesión)

Para imprimir diapositivas, usen las chiquitas, pero por favor no las imprimen todos a la vez - están en desarrollo continuo durante todo el semestre. Sería mejor imprimirlas después de clase para que no arruinen la sorpresa.

Para mostrarlas, pero por favor para no imprimir por la redundancia enorme, también están las de tamaño completo (van extendiendo poco a poco durante el curso para cubrir todo el temario).

Tareas y resultados

Las tareas personalizadas están identificadas por sus números (T1, T2, etcétera). El número de la tarea es enlace a la hoja.

Las tareas se entregan en clase una semana después de la fecha de la tarea o anteriormente a la profesora en persona o por PDF (un solo archivo que incluye el nombre del alumno, el puro .pdf sin compresionar ni nada raro) a su correo GMail (una tarea por correo, mencionar número de la tarea en el tema del mensaje). Una X significa que la tarea ha sido recibido.

El puntaje máximo se muestra en la última fila. Para obtener los puntos máximos, es muy importante que justifiquen sus respuestas en vez de simplemente resumir las conclusiones finales. Pueden adjuntar listados de código al final de su documento PDF si quieren.

La última columna muestra la calificación final (CF) acumulada - tomen en cuenta que en PISIS una calificación debajo de 80 significa reprobar.

Los puntos extras no están sumados en la total acumulada. Los puntos extras de las tareas aparecen acumulados en la columna Extra (X) y no en la columna de la tarea.

2009

Estudiante Tarea Total X+E CF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
BRFL 23441 22113 12310 12-13 43120 41335 6318+2 83
JMVG 23-31 22222 13223 12524 43332 3-335 737+1 81
LGHL 23431 23211 12321 12322 43041 31234 6612+2 80
MABO 23542 23322 13223 12424 43342 31414 8113+3 97
MADR 23532 33323 22223 12524 43252 41335 8716+? 100
OAR  23541 33333 15223 -2414 43144 4-4-4 8212+4 98
PRGN 2223- 2-2-2 23222 12413 43251 31334 6612+2 (80)
TTL  23531 23133 25323 12424 53323 41-2- 776+1 84
VAG  23540 3322- 13313 12-24 41-4- 4-3-- 6010 N/A
YASB 23532 23333 24223 12314 43-53 41435 8516+3 100
YCV  13440 33311 -332- -2-24 43--- ----- 474 N/A
Máximo 2 3 5 4 2 3 3 3 3 3 4 2 3 2 3 3 2 5 2 4 5 3 4 6 4 5 1 4 3 4 100 20 100

2008

Estudiante Tarea Total Extra CF
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
DRVV 13410 33323 45222 22324 53232 5213- 771794
ESA  23541 33332 42113 32324 53232 42434 8214100
GJTR 22441 23322 33303 22314 52223 42213 721186
GRZ  22442 33233 45323 22314 53334 424-- 85489
JASM 23441 23132 35113 32322 53423 -2-3- 729N/A
JMVC 12442 33132 14111 22312 53324 -1--- 629N/A
JRMF 23531 33233 35323 32324 43134 5253- 881098
LABC 213-1 ----- --20- ----- ----- ----- 9-9
MAAS 23441 33223 45223 32324 53333 52-2- 83992
MGEA 23441 33333 45323 32324 53344 523-- 8911100
MISV 22441 33232 13313 22224 42332 42222 73682
MQC  22442 33333 45323 32324 53444 42333 925100
NLGD 23441 33223 45323 32324 53343 5242- 8912100
NSG 22441 33333 45323 32324 53332 52--- 821193
PCHL 22441 33333 45323 32324 52333 52424 8810100
TTL  22531 33232 45213 223-- ----- ----- 48-N/A
YISS 23441 33233 44323 32324 53333 52225 8612100
YPLR 22531 33312 22222 32321 53242 52224 731390
Máximo 2 3 5 4 2 3 3 3 3 3 4 2 3 2 3 3 2 5 2 4 5 3 4 4 4 5 2 5 3 4 100 20 100

Material

Hay varios sitios de web con buenas diapositiva, apuntes y ejercicios. Los mencionados aquí son los que yo conozco y me gustan:

Utilización de documentos de formato PDF

Para acceder las diapositivas, ejercicios y otros materiales en formato PDF, se necesita Acrobat Reader (descarga gratuita) u otra herramienta similar (en sistemas linux/unix, use el comando acroread o xpdf). Para crear documentos en formato PDF, en Windows se puede instalar una impresora virtual como Primo PDF y en linux imprimir a un archivo en PostScript y utilizar el comando ps2pdf para la conversión.

Actualizado el 2 de febrero del 2012.
URL: http://elisa.dyndns-web.com/~elisa/teaching/proc/